線形計画法: pythonとgurobiを使って生産計画を最適化

• 目的関数 (Objective function)
• 決定変数 (Decision variables)
• 制約 (Constraints)

ある食品会社は、原料油を社外から購入し、自社で原料油を精製している。精製した油は混合し、製品として販売している。製品を作るために植物性油と動物性油を混合している。購入できる植物性油は2種類、非植物性油は3種類ある。1〜6月の期間中の購入コストと生産コストを考慮し、利益を最大化するための生産計画を考えよ。

精製
原料油の精製は、植物性油、動物性油ごとに異なる生産ラインを扱う。１ヶ月あたりに現状の生産ラインで精製できる原料油の最大量は、植物性油が２００トン、動物性油が２５０トンである。今回、精製による質量のロス、精製プロセスのコストは無視する。

硬度
精製した油を使って混合油を製造する。技術的な指標に、油の”硬度”を扱っている。混合油の硬度は３〜６の範囲でなければいけない。混合油の硬度は、組成に含まれる油の加重平均から求められる。各油の硬度は以下のデータで提供されている。

購入
原料油は購入後にすぐ調達できる。原料油の購入価格($)は毎月変動する。１月からの6月の価格予想は以下のデータで提供されている。

貯蔵
それぞれの原料油は各タンクに最大１０００トンまで貯蔵可能である。貯蔵コストは１トンあたり＄５かかる。

販売
ブレンド油は、１トンあたり＄１５０で販売する。

現状
現在（1月頭）、タンクにはそれぞれの原料油が５００トンずつ貯蔵されている。

Sets: 集合

\(I:\) Ingredients　油

\(T:\) month　月

Data: データ

\(cost_{it}:\) 各月の原料油の購入価格 \(i \in I, t \in T\)

\(hard_i:\) 各油の硬度 \(i \in I\)

\(IsVeg_i:\) True: 植物性油, False: 非植物性油 \(i \in I\)

\(Storecost:\) 油１トンあたりの貯蔵コスト

\(StoreMax:\) 各油の最大貯蔵量 \(i \in I\)

\(Init:\) 各油の初期貯蔵量 \(i \in I\)

\(MaxH, MaxMin:\) 混合油の許容硬度の最大値と最小値

\(MaxVeg:\) 植物性油の精製キャパシティ

\(MaxNonVeg:\) 非植物性油の精製キャパシティ

\(Sell:\) 混合油の販売価格

Decision variables: 決定変数

\(x_{it}:\) 製造プロセスで使用する月毎の各油の量 \(i \in I, t \in T\)

\(s_{it}:\) 月末の各油の貯蔵量 \(i \in I, t \in T\)

\(y_{it}:\) 各月で購入する各油の量 \(i \in I, t \in T\)

Objective function: 目的関数→利益の最大化

Constraints: 制約

(1)\(s_{i0} = Init – x_{i0}+y_{i0} \quad \forall i \in I \)

(2)\(s_{it} = s_{i(t-1)} – x_{it}+y_{it} \quad \forall i \in I, t \in T, t > 0 \)

(3)\(\sum_{i \in I} (Hard_i – MinH) x_{it} \geq 0 \quad \forall t \in T \)

(4)\(\sum_{i \in I} (Hard_i – MaxH) x_{it} \leq 0 \quad \forall t \in T\)

(5)\(\sum_{i \in I} x_{it} \leq MaxVeg \quad \forall t \in T\)

(6)\(\sum_{i \in I} x_{it} \leq MaxNonVeg \quad \forall t \in T\)

(7)\(s_{it} \leq StoreMax \quad \forall i \in I, t \in T \)

(8)\(x_{it}, y_{it, }s_{it} \geq 0 \quad \forall i \in I, t \in T \)