Juliaと遊ぶ線形代数(3) 行列の性質

行列は線形代数において最も重要なトピック。線形代数が”鬼”だとすると行列は”金棒”か。とにかく行列を理解しないことには線形代数は力を発揮できません。

この記事は「抑えておきたい行列の性質」と「Juliaを使った行列の扱い方」についてまとめます。

この記事がカバーする内容

行列とは何か
Juliaで行列はどのように扱うか

行列

定義

行列(Matrix)は、正方形や長方形の括弧の中に数や記号を含んだ２次元配列です。

$$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
7 & 0 & 0 \\
5 & 1 & 2
\end{bmatrix} \quad or \quad
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
7 & 0 & 0 \\
5 & 1 & 2
\end{pmatrix}$$

括弧の形に違いがありますが、意味は同じです。

行列の中のそれぞれの数字を要素(element)と呼びます。

$A_{i,j}$は行列$A$のi行、j列の要素の位置を指します。

要素の位置を指定する$i, j$をインデックス(index)と呼びます。

例を示します。

$A$は$2 \times 3 $-行列です。

この場合、$A_{1,3}$は1行３列目の1、$A_{2,2}$は2行２列目の７を指します。

列ベクトルと行ベクトル

n-vectorは$n \times 1$-行列です。これを列ベクトル(column vector)と呼びます。

一方、$1 \times n$-行列は、行ベクトル(row vector)と呼びます。

この場合、$A$の列ベクトルは2-column-vector、行ベクトルは3-row-vectorです。

行列の利用

実生活では様々なデータが行列としてまとめられています。

例えば、

顧客データ
生産記録
購入履歴
製薬の実験データ
画像

などです。

行列の種類

ある条件を満たした行列は以下の行列に分類されます。

零行列(Zero matrices)
全ての要素が0の行列
正方行列(square matrices)
行数と列数が等しい行列
単位行列(Identity matrices)
正方行列で対角に位置する要素が１、それ以外は０の行列
対角行列(Diagonal matrices)
正方行列で対角以外の要素が全て０の行列
三角行列(Triangular matrices)
正方行列で対角より下半分、あるいは、上半分が全て０の行列
スパース行列(Sparse matrices)
大部分の要素が０の行列
転置行列(Transposed matrices)
$m \times n$-行列($A$)の行と列を入れ替えた行列。転置行列($A^T$)は$n \times m$-行列になる。

そういえばそんな用語があったなと段々思い出してきました。

行列の加算・減算

同じサイズ同士の行列は、加算・減算できます。

$$\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
7 & 0 \\
5 & 1
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
3 & 4 \\
0 & 2 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
4 & 6 \\
7 & 2 \\
6 & 2
\end{bmatrix}
$$

$$\begin{bmatrix}
8 & 3 \\
5 & 4
\end{bmatrix} –
\begin{bmatrix}
5 & 1 \\
2 & 0
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
3 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
$$

覚えておきたい行列の性質として、

$A+B=B+A$
$(A+B)+C=A+(B+C)$
$A+0=0+A=A$
$(A+B)^T=A^T+B^T$

行列の乗算

スカラーと行列

スカラーは行列の全ての要素を乗算します。

$$3 \times
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
7 & 0 \\
5 & 1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
3 & 6 \\
21 & 0 \\
15 & 3
\end{bmatrix}$$

覚えておきたい性質は、

$(\beta + \gamma)A = \beta A+\gamma A$
$(\beta \gamma)A=\beta (\gamma A)$

$\beta, \gamma $はスカラー

ベクトルと行列

$A$を$m \times n$-行列、$x$を$n$-vectorとすると、この行列とベクトルの積は$y=Ax$と表すことができます。出力される$y$は$m$-vectorです。

$y$の要素については、

$$\begin{aligned}
y_{i}&=\sum_{k=1}^{n} A_{i k} x_{k}\\
&=A_{i 1} x_{1}+\cdots+A_{i n} x_{n}, \quad i=1, \ldots, m
\end{aligned}$$

です。例で示すと、

$$
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
y_3
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
7 & 0 \\
5 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 \\
1 \\
\end{bmatrix}\\
&= \begin{bmatrix}
(1)(3)+(2)(1)\\
(7)(3)+(0)(1)\\
(5)(3)+(1)(1)
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
5\\
21\\
16
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$