Juliaと遊ぶ線形代数(2) ベクトルの性質

便利なライブラリ、パッケージのおかげで、データ解析は簡単に実行できる状況になっています。

しかし、semester2の「Mathmatics for Data Science」履修後に、「線形代数をもっと理解することで得られる気づきがあるのではないか？」とも考えるようになりました。

この記事は、基本の復習のために「ベクトルの基本」と「ベクトルに関するJuliaの操作」をまとめます。（この章の内容は高校数学レベルなので、分かってる方は読み流してください）

この記事がカバーする内容

ベクトルとは何か
ベクトルはどのように利用されているか
Juliaでベクトルはどのように扱うか

ベクトル

定義

ここではベクトルを１次元配列、数が有限に並んだリストとして扱います。

分野によって説明が異なるため、ちゃんと引用しとくと以下。

ベクトル空間の元。線形性を持つ、すなわち和とスカラー倍を取ることができる量。
幾何学的空間における、大きさと向きを持った量。有向線分として捉えることができる。
Wikipedia, ‘ベクトル’

ベクトルは

$$v_1=\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3 \\
\end{bmatrix} \quad or \quad
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3 \\
\end{pmatrix}
\quad or \quad (1, 2, 3)$$

と書けます。書き方に違いがありますが、どの表記も意味は同じです。

ベクトルの中に含まれるひとつひとつの値を要素(element)と呼びます。

ベクトルに含まれる要素の数をベクトルのサイズ(size)、あるいは、次元(dimension)と呼びます。

$v_1$は要素を３つ含んでいます。したがって、$v_1$のサイズ（次元）は3です。

この場合、$v_1$は3-vectorと呼ばれます。

ベクトルの利用

ベクトルといえば、高校・大学のときに物理の力学で使いましたが、数学はとにかく計算だった気がします。実生活でベクトルはどんなことに利用されているんですか？

数例あげますと、

位置情報：２次元の位置情報だと2-vector（緯度、経度）、高度を含む３次元の場合は3-vector（緯度、経度、高度）が利用されます。
色：RGB表色系では、色は3-vector（赤、緑、青）で表されます。それぞれの要素は0-255の範囲の値を取り、色の違いはベクトル表現できます。
時系列：例えば、ある患者の心電図の記録をn-vector $(t_1, t_2, …,t_n)$として扱えます。ある企業の株価やセンサーから得られるデータも同様です。
画像：画像が$X \times Y$ピクセルの画像の場合、その画像は$(X \times Y)$-vector $(x_1, …, x_{X \times Y})$で扱えます。
購入記録：あるユーザーの商品購入記録をn-vector $(p_1, p_2, …,p_n)$として扱えます。２人のユーザーのベクトルを使えば、ユーザー同士がどれぐらい似た購入傾向であるかを判断できます。
ワードカウント：ある記事で使用された単語の数はn-vector $(w_1, w_2, …,w_n)$で表せます。

です。このように様々な用途に対してベクトルが利用されています。

ベクトルの足し算・引き算・掛け算

ベクトルの性質をまとめます。

ここで覚えておきたいことは

ベクトルの次元が同じとき、数と同じようにベクトルも足し算・引き算ができる
逆に、次元が異なる2-vectorと3-vectorの足し算、引き算はできない
ベクトルとスカラー(1-vector)は掛け算できる

ことです。

式としては以下の関係が成立します。$\alpha, \beta, \gamma$はスカラーです。（スカラー：ベクトルを定数倍する実数）

$a+b = b+a$
$(a-b)+c = a+(-b+c)$
$\alpha a = a \alpha$
$(\beta \gamma) a = \beta (\gamma a)$
$(\beta + \gamma) a = \beta a + \gamma a$
$\beta (a + b) = \beta a + \beta b$

内積: Inner product

内積(Inner product)は

$$a^T b = a_1b_1 + a_2b_2 + …+a_n b_n$$

であり、２つのn-vectorをスカラーにします。例えば、

$$a=\left[
\begin{matrix}
1 \\
2 \\
3 \\
\end{matrix}\right] \qquad b=\left[
\begin{matrix}
4 \\
5 \\
6 \\
\end{matrix}\right]
$$

とすると、$a$と$b$の内積は

$$\begin{aligned}
a^T b &= \left[
\begin{matrix}
1 \quad 2 \quad 3 \\
\end{matrix}\right]
\left[
\begin{matrix}
4 \\
5 \\
6 \\
\end{matrix}\right] \\
&= (1)(4)+(2)(5)+(3)(6) \\
&= 32 \\
\end{aligned}$$

です。

また、$a^T b = b^T a$が成立します。

内積って角度に関連していたことしか覚えてないのですが、何かに使えるんですか？

内積を利用する例をいくつかあげると、

総和(sum): $\mathbf{1}^T a = a_1 + …+a_n$より、ベクトル$a$の総和を与えます。
平均(average): $(\mathbf{1}/n)^T a = (a_1 + …+a_n)/n$より、$a$の平均を与えます。
平方和(sum of square): $a^T a = a_1 ^2 +…+a_n ^2$より、$a$の平方和を与えます。
共通部分(intersection): $a = (1,0,0,1,1)\quad b = (0,0,1,1,1)$の集合$A, B$において、$a^T b =2$より、$A\cap B$に含まれるオブジェクトが２つあることが分かります。
重み、特徴量、スコア(weights, features, score): $f$をオブジェクトの特徴量ベクトル、$w$を重みベクトルとすると、$w^T f=s$でスコアが計算できます。
多項式(polynomial evaluation): $p(x)=c_1 + c_2 x + …+c_n x^{n-1}$において、$ c = (c_1, c_2, …, c_n)、z=(1,t,t^2, …,t^{n-1})$とすると、多項式は$c^T z = p(t)$とまとめられます。

などです。

機械学習を扱っていると、次第にベクトルの重要性に気づくと思います。