【証明】コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式

コーシー・シュワルツの不等式はベクトルの内積とノルムの関係を、三角不等式は三角形の2辺の和の長さが残りの1辺の長さより必ず大きくなることを示します。

ワカメさん

この記事は「コーシー・シュワルツの不等式」「三角不等式」についてまとめます。

この記事がカバーする内容
  • コーシー・シュワルツの不等式の証明
  • 三角不等式の証明
スポンサーリンク

コーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツの不等式(Cauchy-Schwarz inequality)は、ノルムと内積の関係を示します。

$$|a^T b|\leq ||a||||b||$$

これをn-vectorとして展開すると、

$$|a_1b_1+…+a_n b_n|\leq (a_1^2+…+a_n^2)^{1/2} (b_1^2+…+b_n^2)^{1/2}$$

とも書けます。

証明
\(a\neq 0, \quad b \neq 0\)と仮定。また、\(\alpha = ||a||,\quad \beta = ||b||\)と定義すると

$$
\begin{aligned}
0 &\leq||\beta a-\alpha b||^{2} \\
&=||\beta a||^{2}-2(\beta a)^{T}(\alpha b)+||\alpha b||^{2} \\
&=\beta^{2}||a||^{2}-2 \beta \alpha\left(a^{T} b\right)+\alpha^{2}||b||^{2} \\
&=||b||^{2}||a||^{2}-2||b||||a||\left(a^{T} b\right)+||a||^{2}||b||^{2} \\
&=2||a||^{2}||b||^{2}-2||a||||b||\left(a^{T} b\right)
\end{aligned}
$$

となる。これを\(2||a|||b|||\)で割ることで、

\(a^T b \leq ||a||||b||\)が導かれる。

これと同じ操作を\(-a\)と\(b\)に対して行うと、\(-a^T b \leq ||a||||b||\)が得られる。

これらふたつの不等式より、最終的に

$$|a^T b|\leq ||a||||b||$$

が得られる。

\(||\beta a – \alpha b||=0\)は以下のどちらかの場合に成立します。

  1. \(\beta a = \alpha b\)
  2. \(a = 0 \quad or \quad b =0\)

1の場合、いづれかのベクトルがもう一方のベクトルをスカラー倍したものであることが分かります。

三角不等式

三角不等式(Triangle inequality)はノルムの関係を示します。

$$||a+b|| \leq ||a||+||b||$$

三角不等式はコーシー・シュワルツの不等式を使って導くことができます。

証明
\(a, b\)をベクトルとする。

\(\begin{aligned}||a+b||^2 &= ||a||^2+2a^T b+||b||^2\\
&\leq ||a||^2+2||a||||b||+||b||^2\\
&= (||a||+||b||)^2
\end{aligned}\)

したがって、\(||a+b|| \leq ||a||+||b||\)が成り立つ。

ワカメさん

Youtubeの動画で視覚的に理解するのも手です。自分に合った動画を見つけてみてください。

Juliaで確認

最後に3-vectorを使って、両式の成立を確認します。

ソースコード中のresultは\(a, b\)を使った(右辺)-(左辺)の結果です。

resultsはresultを10万回繰り返して得たものです。

\(a, b\)の値は繰り返しのたびにランダムに変更されます。

resultsが0未満をひとつも含まなければ、式が成立していると言えます。

コーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツの不等式

三角不等式

三角不等式
ヒトデちゃん

両式ともに0未満を含んでいないですね!成立!

ワカメさん

JuliaのコードはPythonに似てるようで、for文の書き方も微妙に違います。要素の番号もRと同じくJuliaは1からスタートします。

まとめ

この記事をまとめます。

「コーシーシュワルツの不等式」と「三角不等式」
  • コーシー・シュワルツの不等式はノルムと内積の関係を示す
  • 三角不等式はコーシーシュワルツの不等式を使って求めることができる

以上です。最後まで読んで頂き、ありがとうございました。

参考文献

(1) Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2018). Introduction to applied linear algebra: vectors, matrices, and least squares. Cambridge university press.

スポンサーリンク

この記事が気にいったらシェアしてね!

ABOUT US

ワカメ
海外のデータサイエンスコースに留学する社会人大学院生. 専門: M.Eng. in Mat.Sci. & MSDS. このブログは以下2点を目的に運営しています.
1. 学び・体験の復習機会
2. 海外留学を目指す方の参考情報
*ブログ・SNSは所属組織と無関係の個人発信.