変換と行列：線形変換とアフィン変換の関係

線形代数における線形変換とは何か？

行列(マトリックス)を扱う線形代数は抽象度が高いうえ、３次元以上の可視化ができないため、海外の学生も理解に苦労していました。

この記事は、変換と行列の関係に注目して「線形変換とアフィン変換」をまとめます。

この記事がカバーする内容

線形変換とは何か
アフィン変換とは何か
線形変換とアフィン変換はどんな関係か

線形変換と行列の関係

まず、線形変換とは何でしょう？

線形(線型)変換(Linear transformation)は、線形性を持つ$f$がインプットされた値を、別の値にアウトプットすることです。

本質的には、変換$f$は、関数(function)、写像(Map)の同義語です。

線形代数においては、入力ベクトルと出力ベクトルの変換を考えます。

$A$を$m\times n$行列、$\boldsymbol{x}$を$n$-ベクトルとします。

すると、この行列とベクトルの積は

$$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$$

とおけます。　

つまり、行列$A$が変換$f$の役割を担います。

線形変換は、変換$f$が線形性を持つ必要があります。

「関数」ではなく、「変換(transformation)」を使っている理由は、入力ベクトルが出力ベクトルに”動く”というニュアンスがあるからだそうです。詳しくは「3Blue1Brown」の動画でご確認ください。

出典: 3Blue1Brown, 線形変換と行列 | 線形代数の本質第3章

線形変換の性質

線形性を持つ変換ってどういう意味ですか？

変換$f$が線形変換であるためには２つ条件があります。

それは、$f$が(1)ベクトルの加法、(2)スカラーの乗算、を満たすことです。

$f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)$
$f(\alpha v_1) = \alpha f(v_1)$

このとき、

$$\begin{eqnarray}
f(\alpha v_1 + \beta v_2) &=& A(\alpha v_1 + \beta v_2)\\
&=& A(\alpha v_1) + A(\beta v_2)\\
&=& \alpha(Av_1) + \beta(Av_2)\\
&=& \alpha f(v_1) + \beta f(v_2)
\end{eqnarray}$$

が成り立ちます。

下図は線形変換の動きを示します。

変換$f$によって、ベクトル$a$はベクトル$f(a)$に変換されます。

ベクトル$a+b$も同様に、ベクトル$f(a+b)$に変換されます。

また、ベクトル$f(a+b)$はベクトル$f(a)$とベクトル$f(b)$の和であることが分かります。

線形変換は、(1)直線を維持したまま、(2)原点を固定した変換です。

逆に、変換後に直線が非線形になる、変換後に原点が動く、変換後の直線の間隔が一致しない、とそれは線形変換ではないといえます。

アフィン変換と行列の関係

では、アフィン変換とはなんでしょか？

アフィン変換(Affine transformation)は、線形変換$f$と平行移動$g$を合成した変換$g \circ f$です。

$A$を$m\times n$行列、$\boldsymbol{x}$、$\boldsymbol{b}$をそれぞれ$n$-ベクトルとします。

アフィン変換において、行列とベクトルの関係は

$$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}$$

とおけます。

アフィン変換の行列$\hat{A}$は、

$$\begin{eqnarray}g \circ f &=& \hat{A}\\
&=&\begin{bmatrix}A & \boldsymbol{b}\\
0 \cdots 0 & 1\end{bmatrix}
\end{eqnarray}$$

となります。

さらに

$$\boldsymbol{\hat{x}}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{x}\\1\end{bmatrix}$$

とおき、行列 $\hat{A}$を使うことで、アフィン変換は

$$f(\boldsymbol{\hat{x}})=\hat{A}\boldsymbol{\hat{x}}$$

と表せます。

アフィン変換はどういう時に使うのですか？

アフィン変換は、あらゆるベクトルに対して

平行移動
反転
拡大・縮小
回転
剪断

出典: Wikipedia, “Affine transformation”

を扱います。

反転、拡大・縮小、回転、剪断は、線形変換でも扱えますが、平行移動はアフィン変換でなければいけません。

平行移動は原点が移動します。そのため、線形変換の条件を満たさないからです。

アフィン変換は、身近なところでは、スマホやコンピュータグラフィックスの画像処理に利用されています。

線形変換とアフィン変換の関係

線形変換とアフィン変換の間には、「全ての線形変換はアフィン変換であるが、アフィン変換の一部は線形変換ではない」という関係があります。

つまり、線形変換はアフィン変換の一部です。ベン図で表すとこうなります。

$f: (x, y) \mapsto (-x+y, x+2y) $の線形変換を例に考えてみます。

$\boldsymbol{b}=0$のとき、アフィン変換は線形変換と同じ$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$です。

$$\begin{eqnarray} f((x_1, y_1)+(x_2,y_2)) &=& (-(x_1+x_2)+(y_1+y_2), (x_1+x_2)+2(y_1+y_2))\\ &=& (-x_1+y_1, x_1+2y_1)+(-x_2+y_2, x_2+2y_2)\\ &=& f(x_1,y_1)+f(x_2, y_2) \end{eqnarray}$$

となり、$\boldsymbol{b}=0$のときの$f$は、線形変換だと分かります。

したがって、線形変換は$\boldsymbol{b}=0$のときのアフィン変換です。

しかし、$\boldsymbol{b} \neq 0$のとき、アフィン変換は$f(0,0)\neq (0,0)$です。一方、線形変換は$f(0,0)= (0,0)$です。

$\boldsymbol{b} \neq 0$のアフィン変換は、変換後に原点を固定できていないため、これは線形変換ではありません。

線形変換はアフィン変換の一部と分かります。